1 Η συνάρτηση της μορφής \(y = \alpha x+β\).
Αφού είδαμε τη συνάρτηση \(y = \alpha x\), η οποία εκφράζει τα ανάλογα ποσά, ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στη γενικότερη μορφή της, τη γραμμική συνάρτηση \(y = \alpha x + \beta\).
1.1 Θεωρία: Η Ευθεία \(y = \alpha x + \beta\)
- Ορισμός & Μορφή: Μια συνάρτηση της μορφής \(y = \alpha x + \beta\) ονομάζεται γραμμική συνάρτηση και η γραφική της παράσταση είναι πάντα μια ευθεία γραμμή. Ο τύπος αυτός ονομάζεται και εξίσωση της ευθείας.
- Η σημασία των παραμέτρων \(\alpha\) και \(\beta\):
- Η κλίση (\(\alpha\)): Ο αριθμός \(\alpha\) ονομάζεται κλίση της ευθείας. Εκφράζει τον λόγο της κατακόρυφης μεταβολής (\(\Delta y\)) προς την οριζόντια μεταβολή (\(\Delta x\)). Αν \(\alpha > 0\), η συνάρτηση αυξάνεται, ενώ αν \(\alpha < 0\), η συνάρτηση μειώνεται.
- Η τεταγμένη επί την αρχή (\(\beta\)): Η ευθεία τέμνει τον άξονα των τεταγμένων (\(y'y\)) στο σημείο \((0, \beta)\).
- Τομή με τον άξονα x’x : Άν y=0 ==> αx+β=0 και άρα \(x=-\frac{β}{α}\). Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία y=αx+β τέμνει τον άξονα x’x στο σημείο (\(-\frac{β}{α},0\))
- Σχέση με την \(y = \alpha x\): Η γραφική παράσταση της \(y = \alpha x + \beta\) είναι μια ευθεία παράλληλη προς την ευθεία \(y = \alpha x\), μετατοπισμένη κατά \(\beta\) μονάδες στον άξονα \(y'y\).
- Παράλληλες Ευθείες: Δύο ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους όταν έχουν την ίδια κλίση \(\alpha\).
- Ειδικές Περιπτώσεις:
- Όταν \(\alpha = 0\), η συνάρτηση γίνεται \(y = \beta\) και είναι μια σταθερή συνάρτηση (οριζόντια ευθεία παράλληλη στον άξονα \(x'x\)).
- Η εξίσωση \(x = \kappa\) παριστάνει μια κατακόρυφη ευθεία παράλληλη στον άξονα \(y'y\), αλλά αυτή δεν ορίζει συνάρτηση.
Αλλάξτε την τιμή των δρομέων α και β (κλίκ και σύρτε)
- Τι συμβαίνει όταν μεταβάλεται το α;
- Τι συμβαίνει όταν μεταβάλλεται το β;
Εξετάστε αν ισχύουν όσα είπαμε παραπάνω για τα α και β.
1.2 Γενική εξίσωση ευθείας
Η εξίσωση της μορφής \(\alpha x + \beta y = \gamma\) (με \(\alpha \neq 0\) ή \(\beta \neq 0\)) αποτελεί τη γενική μορφή εξίσωσης μιας ευθείας στο επίπεδο.
1.2.1 Σχέση με τη μορφή \(y = \alpha x + \beta\)
Για να συνδέσουμε τις δύο μορφές, αρκεί να λύσουμε τη γενική εξίσωση ως προς \(y\) (εφόσον \(\beta \neq 0\)):
1. Απομόνωση του όρου \(y\): Μεταφέρουμε το \(\alpha x\) στο δεύτερο μέλος αλλάζοντας το πρόσημό του: \(\beta y = -\alpha x + \gamma\).
2. Διαίρεση με το \(\beta\): Διαιρούμε όλα τα μέλη με τον συντελεστή του \(y\): \(y = -\frac{\alpha}{\beta}x + \frac{\gamma}{\beta}\).
Με αυτή τη μετατροπή, η κλίση της ευθείας είναι το πηλίκο \(-\frac{\alpha}{\beta}\) .
1.2.2 Ειδικές Περιπτώσεις
- Οριζόντια Ευθεία (\(\alpha = 0\)): Η εξίσωση παίρνει τη μορφή \(y = \kappa\) (όπου \(\kappa = \frac{\gamma}{\beta}\)). Είναι μια ευθεία παράλληλη στον άξονα \(x'x\).
- Κατακόρυφη Ευθεία (\(\beta = 0\)): Η εξίσωση παίρνει τη μορφή \(x = \kappa\) (όπου \(\kappa = \frac{\gamma}{\alpha}\)). Αυτή η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα \(y'y\), αλλά δεν ορίζει συνάρτηση.
1.3 Προτεινόμενες Ασκήσεις
Άσκηση 1: Εύρεση Σημείων Τομής Δίνεται η ευθεία \(y = 2x - 4\). Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία τέμνει τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\) και στη συνέχεια να τη σχεδιάσετε.
Άσκηση 2: Υπολογισμός Κλίσης Να βρείτε την κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία \(A(1, 1)\) και \(B(2, 3)\).
Άσκηση 3: Εύρεση Εξίσωσης από Σημεία Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία \((0, 3)\) και \((1, 5)\).
Άσκηση 4: Έλεγχος Σημείου Να εξετάσετε ποιό από τα παρακάτω σημεία ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης \(y = 2x - 1\).
| Σημείο Α | Σημείο Β | Σημείο Γ | Σημείο Δ |
|---|---|---|---|
| (-1,1) | (3,6) | (4,7) | (-2,-5) |
Άσκηση 5: Πρόβλημα Καθημερινότητας (Ταξί) Για τη χρήση ενός ταξί πληρώνουμε \(1,8\) € για τη «σημαία» και \(0,8\) € για κάθε χιλιόμετρο διαδρομής.
- Να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει το συνολικό ποσό \(y\) για μια διαδρομή \(x\) χιλιομέτρων.
- Να βρείτε πόσα χιλιόμετρα θα κάνει κάποιος με 16 €.
- Πόσα χρήματα θα χρειαστεί κάποιος για να κάνει 22 χιλιόμετρα.
Άσκηση 6: Παράλληλες Ευθείες Ποια από τις παρακάτω ευθείες είναι παράλληλη στην \(y = 3x\);
α) \(y = x + 3\)
β) \(y = 3x - 7\)
γ) \(y = -3x + 5\)
Γραφική Παράσταση: Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες \(y = \frac{1}{4}x\), \(y = \frac{1}{4}x + 3\) και \(y = \frac{1}{4}x - 2\).
Σημεία Τομής με Άξονες: Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία \(y = 2x - 4\) τέμνει τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\).
Εύρεση Παραμέτρου: Η γραφική παράσταση της ευθείας \(y = -2x + \beta\) διέρχεται από το σημείο \(A(-2, 6)\). Να βρείτε την τιμή του \(\beta\).
Τηλεφωνική Χρέωση: Μια εταιρεία χρεώνει πάγιο \(15\) € τον μήνα και \(3\) σεντ (\(0,03\) €) ανά λεπτό ομιλίας. Βρείτε τον τύπο της μηνιαίας χρέωσης.
Υπολογισμός Κλίσης: Να βρείτε την κλίση της ευθείας που δίνεται από την εξίσωση \(2y = 4x - 1\).
Κόστος Επίσκεψης: Μια σχολική εκδρομή σε μουσείο κοστίζει \(8,50\) € ανά μαθητή για την είσοδο και \(50\) € συνολικά για το λεωφορείο. Εκφράστε το συνολικό κόστος \(y\) ως συνάρτηση του αριθμού των μαθητών \(x\).
Ειδικές Μορφές: Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο \((-2, 4)\) και είναι κάθετη στον άξονα \(y'y\).
Να αντιστοιχίσετε τις ευθείες με τα γραφήματα
| Ευθείες | Γραφήματα |
|---|---|
| y=-3x+6 |  |
| y=2x-5 |  |
| y=x-2 |  |
- Σχεδιάστε την ευθεία \(2x+4y=-1\)
- Βρείτε την κλίση της ευθείας \(5x-3y=4\)
- Βρείτε που τέμνει τους άξονες η ευθεία \(2x-6y=-5\).
- Για την ευθεία \(-x+2y=-4\) να επιλέξετε την σωστή απάντηση από τον παρακάτω πίνακα
| Α | Β | Γ | |
|---|---|---|---|
| Έχει κλίση | 3 | \(\frac{1}{2}\) | -4 |
| Τέμνει τον άξονα x’x | (4,0) | (-2,0) | (3,-3) |
| Τέμνει τον άξονα y’y | (0,-2) | (-2,0) | (-2,2) |
ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !